Полный тренировочный вариант в формате профильного ЕГЭ по математике: 12 заданий части 1 с кратким ответом и 7 заданий части 2 с развернутым решением. Все задания авторские, структура — по спецификации ФИПИ.
Как решать: выделите 3 часа 55 минут, решайте на бумаге и открывайте ответ только после того, как записали свой. К части 2 даны решения — сверяйте ход рассуждений, а не только итоговое число: на экзамене оценивается именно обоснованность решения.
Часть 1
Задания с кратким ответом
Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения в ответе не указываются.
1В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 6, AB = 10. Найдите cos B.
›Показать ответ
Ответ: 0,6
cos B = BC / AB = 6/10 = 0,6.
2Даны векторы a(3; −1) и b(1; 2). Найдите скалярное произведение a · b.
›Показать ответ
Ответ: 1
3·1 + (−1)·2 = 3 − 2 = 1.
3Объем куба равен 64. Найдите площадь поверхности куба.
›Показать ответ
Ответ: 96
Ребро куба 4 (4³ = 64), поверхность 6 · 4² = 96.
4В коробке 12 синих и 8 красных ручек. Продавец наугад достает одну ручку. Найдите вероятность того, что она окажется красной.
›Показать ответ
Ответ: 0,4
8 / (12 + 8) = 8/20 = 0,4.
5Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
›Показать ответ
Ответ: 0,375
Благоприятных исходов 3 (ООР, ОРО, РОО) из 8 равновозможных: 3/8 = 0,375.
6Решите уравнение log₂(x + 3) = 5. Если корней несколько, запишите меньший из них.
›Показать ответ
Ответ: 29
x + 3 = 2⁵ = 32, откуда x = 29; корень единственный.
7Найдите значение выражения log₆ 12 + log₆ 3.
›Показать ответ
Ответ: 2
log₆ 12 + log₆ 3 = log₆ 36 = 2.
8Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ − 3t² + 2t, где x — координата в метрах, t — время в секундах. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 2 с.
›Показать ответ
Ответ: 2
v(t) = x′(t) = 3t² − 6t + 2; v(2) = 12 − 12 + 2 = 2.
9Температура нагревательного элемента прибора меняется по закону T(t) = T₀ + at², где T₀ = 20 °C, a = 5 °C/мин². Прибор автоматически отключается, когда температура достигает 145 °C. Через сколько минут после включения прибор отключится?
›Показать ответ
Ответ: 5
20 + 5t² = 145 → t² = 25 → t = 5 (t > 0).
10Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут. За сколько минут наполнят бак оба насоса, работая одновременно?
›Показать ответ
Ответ: 12
Совместная производительность 1/20 + 1/30 = 1/12 бака в минуту.
11Прямая y = 3x + b касается графика функции y = x² + 5x + 8. Найдите b.
›Показать ответ
Ответ: 7
x² + 5x + 8 = 3x + b → x² + 2x + (8 − b) = 0; касание — при D = 0: 4 − 4(8 − b) = 0, b = 7.
12Найдите точку максимума функции y = x³ − 12x + 5.
›Показать ответ
Ответ: −2
y′ = 3x² − 12 = 0 при x = ±2; при переходе через x = −2 производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума.
Часть 2
Задания с развернутым ответом
Запишите полное обоснованное решение и ответ. Оценивается не только ответ, но и ход решения.
13а) Решите уравнение 2sin²x − sin x − 1 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; π/2].
›Показать ответ
Ответ: а) Замена t = sin x: 2t² − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. Отсюда x = π/2 + 2πk; x = −π/6 + 2πk; x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z. б) На отрезке [−π; π/2] лежат корни −5π/6, −π/6 и π/2.
14В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, боковое ребро равно 5, O — центр основания. а) Докажите, что прямая SO перпендикулярна прямой BD. б) Найдите объем пирамиды.
›Показать ответ
Ответ: а) SO — высота правильной пирамиды, поэтому SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе BD. б) Диагональ основания BD = 6√2, ее половина OB = 3√2. Из прямоугольного треугольника SOB: SO² = SB² − OB² = 25 − 18 = 7, SO = √7. V = (1/3) · 36 · √7 = 12√7.
15Решите неравенство log½(x − 3) ≥ −2.
›Показать ответ
Ответ: ОДЗ: x > 3. Основание меньше 1, знак меняется: x − 3 ≤ (1/2)⁻² = 4. Итого 3 < x ≤ 7. Ответ: (3; 7].
16Кредит в 1 200 000 рублей взят на 12 месяцев. В конце каждого месяца долг сначала возрастает на 2% по сравнению с началом месяца, а затем вносится платеж, причем основной долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину. Найдите общую сумму выплат за весь срок кредита.
›Показать ответ
Ответ: Долг уменьшается каждый месяц на 1 200 000 / 12 = 100 000 руб. Проценты за месяц k начисляются на остаток 100 000 · (13 − k): всего 0,02 · 100 000 · (12 + 11 + … + 1) = 0,02 · 100 000 · 78 = 156 000 руб. Общая сумма выплат: 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 рублей.
17Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. а) Докажите, что треугольники BOC и DOA подобны. б) Известно, что BC = 4, AD = 9 и площадь треугольника BOC равна 8. Найдите площадь треугольника DOA.
›Показать ответ
Ответ: а) BC ∥ AD, поэтому углы OBC и ODA равны как накрест лежащие, углы OCB и OAD — тоже; треугольники подобны по двум углам. б) Коэффициент подобия k = AD/BC = 9/4; отношение площадей k² = 81/16. S(DOA) = 8 · 81/16 = 40,5.
18Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |x| = ax + 1 имеет ровно два корня.
›Показать ответ
Ответ: При x ≥ 0: x(1 − a) = 1, корень x = 1/(1 − a) существует и неотрицателен при a < 1. При x < 0: −x = ax + 1, корень x = −1/(1 + a) существует и отрицателен при a > −1. Ровно два корня — когда существуют оба, то есть при −1 < a < 1. Ответ: a ∈ (−1; 1).
19О пятизначных натуральных числах, кратных 12, известно следующее. а) Приведите пример такого числа, произведение цифр которого равно 40. б) Может ли произведение цифр такого числа равняться 200? в) Найдите наибольшее такое число, произведение цифр которого равно 40.
›Показать ответ
Ответ: а) Например, 22152: произведение цифр 2·2·1·5·2 = 40; 22152 = 12 · 1846. б) Нет. Наборы из пяти цифр с произведением 200 (без нуля): {5;5;8;1;1}, {5;5;4;2;1}, {5;5;2;2;2} — их суммы 20, 17 и 16 не делятся на 3, а кратное 12 число обязано делиться на 3. в) Продукт 40 дают наборы {8;5;1;1;1} (сумма 16), {5;4;2;1;1} (13), {5;2;2;2;1} (12) — на 3 делится только последний. Из цифр 5, 2, 2, 2, 1 наибольшее число с двумя последними цифрами, кратными 4, — это 52212 (окончание 12 делится на 4). Проверка: 52212 = 12 · 4351. Ответ: 52212.
© 2026 «Личный кабинет репетитора», lkrepetitora.ru. Все задания варианта — авторские, созданы редакцией проекта в формате спецификации ФИПИ и охраняются авторским правом. Печатать и использовать на занятиях со своими учениками можно свободно; перепубликация заданий на других сайтах и в сборниках — только с письменного согласия и активной ссылкой на источник.
Проведите этот вариант своему ученику онлайн
В кабинете репетитора задания собираются в тесты с автопроверкой: отправьте ученику ссылку — результат придет вам. Бесплатный тариф на 3 учеников.
Попробовать бесплатно