в диалоге печати выберите «Сохранить как PDF»

Тренировочная работа в формате ЕГЭ

по предмету «Математика (профиль)»

15 июля 2026

Вариант 1

Выполнена: ФИО ______________________________________________ класс ________

Инструкция по выполнению работы

Работа содержит 19 заданий. На выполнение работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям с кратким ответом записывайте в отведенном месте в тексте работы. Задания с развернутым ответом выполняйте на отдельном листе, указывая номер задания. Записывайте решения и ответы четко и разборчиво.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Часть 1. Задания с кратким ответом

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения в ответе не указываются.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 6, AB = 10. Найдите cos B.

Ответ: ____________________________

Даны векторы a(3; −1) и b(1; 2). Найдите скалярное произведение a · b.

Ответ: ____________________________

Объем куба равен 64. Найдите площадь поверхности куба.

Ответ: ____________________________

В коробке 12 синих и 8 красных ручек. Продавец наугад достает одну ручку. Найдите вероятность того, что она окажется красной.

Ответ: ____________________________

Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: ____________________________

Решите уравнение log₂(x + 3) = 5. Если корней несколько, запишите меньший из них.

Ответ: ____________________________

Найдите значение выражения log₆ 12 + log₆ 3.

Ответ: ____________________________

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ − 3t² + 2t, где x — координата в метрах, t — время в секундах. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 2 с.

Ответ: ____________________________

Температура нагревательного элемента прибора меняется по закону T(t) = T₀ + at², где T₀ = 20 °C, a = 5 °C/мин². Прибор автоматически отключается, когда температура достигает 145 °C. Через сколько минут после включения прибор отключится?

Ответ: ____________________________

Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут. За сколько минут наполнят бак оба насоса, работая одновременно?

Ответ: ____________________________

Прямая y = 3x + b касается графика функции y = x² + 5x + 8. Найдите b.

Ответ: ____________________________

Найдите точку максимума функции y = x³ − 12x + 5.

Ответ: ____________________________

Часть 2. Задания с развернутым ответом

Запишите полное обоснованное решение и ответ. Оценивается не только ответ, но и ход решения.

а) Решите уравнение 2sin²x − sin x − 1 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; π/2].

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 6, боковое ребро равно 5, O — центр основания.

а) Докажите, что прямая SO перпендикулярна прямой BD.

б) Найдите объем пирамиды.

Решите неравенство log½(x − 3) ≥ −2.

Кредит в 1 200 000 рублей взят на 12 месяцев. В конце каждого месяца долг сначала возрастает на 2% по сравнению с началом месяца, а затем вносится платеж, причем основной долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину. Найдите общую сумму выплат за весь срок кредита.

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O.

а) Докажите, что треугольники BOC и DOA подобны.

б) Известно, что BC = 4, AD = 9 и площадь треугольника BOC равна 8. Найдите площадь треугольника DOA.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |x| = ax + 1 имеет ровно два корня.

Ответ: ____________________________

О пятизначных натуральных числах, кратных 12, известно следующее.

а) Приведите пример такого числа, произведение цифр которого равно 40.

б) Может ли произведение цифр такого числа равняться 200?

в) Найдите наибольшее такое число, произведение цифр которого равно 40.

Материалы для учителя

ЕГЭ · Математика (профиль) · Вариант 1 — не выдавать ученику до окончания работы

Ответы и комментарии

Часть 1. Задания с кратким ответом

1.0,6 — cos B = BC / AB = 6/10 = 0,6.

2.1 — 3·1 + (−1)·2 = 3 − 2 = 1.

3.96 — Ребро куба 4 (4³ = 64), поверхность 6 · 4² = 96.

4.0,4 — 8 / (12 + 8) = 8/20 = 0,4.

5.0,375 — Благоприятных исходов 3 (ООР, ОРО, РОО) из 8 равновозможных: 3/8 = 0,375.

6.29 — x + 3 = 2⁵ = 32, откуда x = 29; корень единственный.

7.2 — log₆ 12 + log₆ 3 = log₆ 36 = 2.

8.2 — v(t) = x′(t) = 3t² − 6t + 2; v(2) = 12 − 12 + 2 = 2.

9.5 — 20 + 5t² = 145 → t² = 25 → t = 5 (t > 0).

10.12 — Совместная производительность 1/20 + 1/30 = 1/12 бака в минуту.

11.7 — x² + 5x + 8 = 3x + b → x² + 2x + (8 − b) = 0; касание — при D = 0: 4 − 4(8 − b) = 0, b = 7.

12.−2 — y′ = 3x² − 12 = 0 при x = ±2; при переходе через x = −2 производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума.

Часть 2. Задания с развернутым ответом

18.При x ≥ 0: x(1 − a) = 1, корень x = 1/(1 − a) существует и неотрицателен при a < 1. При x < 0: −x = ax + 1, корень x = −1/(1 + a) существует и отрицателен при a > −1. Ровно два корня — когда существуют оба, то есть при −1 < a < 1. Ответ: a ∈ (−1; 1).

13.а) Замена t = sin x: 2t² − t − 1 = 0, t = 1 или t = −1/2. Отсюда x = π/2 + 2πk; x = −π/6 + 2πk; x = −5π/6 + 2πk, k ∈ Z.б) На отрезке [−π; π/2] лежат корни −5π/6, −π/6 и π/2.

14.а) SO — высота правильной пирамиды, поэтому SO перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе BD.б) Диагональ основания BD = 6√2, ее половина OB = 3√2. Из прямоугольного треугольника SOB: SO² = SB² − OB² = 25 − 18 = 7, SO = √7. V = (1/3) · 36 · √7 = 12√7.

15.ОДЗ: x > 3. Основание меньше 1, знак меняется: x − 3 ≤ (1/2)⁻² = 4. Итого 3 < x ≤ 7. Ответ: (3; 7].

16.Долг уменьшается каждый месяц на 1 200 000 / 12 = 100 000 руб. Проценты за месяц k начисляются на остаток 100 000 · (13 − k): всего 0,02 · 100 000 · (12 + 11 + … + 1) = 0,02 · 100 000 · 78 = 156 000 руб. Общая сумма выплат: 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 рублей.

17.а) BC ∥ AD, поэтому углы OBC и ODA равны как накрест лежащие, углы OCB и OAD — тоже; треугольники подобны по двум углам.б) Коэффициент подобия k = AD/BC = 9/4; отношение площадей k² = 81/16. S(DOA) = 8 · 81/16 = 40,5.

19.а) Например, 22152: произведение цифр 2·2·1·5·2 = 40; 22152 = 12 · 1846.б) Нет. Наборы из пяти цифр с произведением 200 (без нуля): {5;5;8;1;1}, {5;5;4;2;1}, {5;5;2;2;2} — их суммы 20, 17 и 16 не делятся на 3, а кратное 12 число обязано делиться на 3.в) Продукт 40 дают наборы {8;5;1;1;1} (сумма 16), {5;4;2;1;1} (13), {5;2;2;2;1} (12) — на 3 делится только последний. Из цифр 5, 2, 2, 2, 1 наибольшее число с двумя последними цифрами, кратными 4, — это 52212 (окончание 12 делится на 4). Проверка: 52212 = 12 · 4351. Ответ: 52212.

© 2026 «Личный кабинет репетитора» — lkrepetitora.ru/varianty. Тренировочный вариант подготовлен редакцией проекта: задания авторские, в формате спецификации ФИПИ, охраняются авторским правом. Печать и использование на занятиях со своими учениками — свободно; перепубликация на других сайтах и в сборниках — только с письменного согласия и ссылкой на источник. Новый вариант — раз в две недели.